Exposant 1/n

Théorème et définition
Soit \(a\) un nombre réel positif et `n` un entier naturel non nul.

L'équation \(x^n=a\) possède une unique solution positive notée  \(a^{\frac{1}{n}}\) et appelée racine \(n\) -ième de `a` .

                                                                   \((a^{\frac{1}{n}})^n=a\)
Remarques

La racine \(n\) -ième de `a` est aussi notée \(\sqrt[n]{a}\) . Nous avons donc :  \((\sqrt[n]{a})^n=a.\)

Dans la plupart des cas, l'utilisation de la calculatrice est nécessaire pour calculer une valeur approchée d'une racine \(n\) -ième.

Cas  particuliers                                                                          

• Si  \(n=1\) , \(a^{\frac{1}{1}}=a\) .
  
• Si  \(n=2\) , \(a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}\)  (racine carrée de \(a\) ).
  
• Si  \(n=3\) , \(a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}\)  (racine cubique de \(a\) ).
  

Exemples

\(4^\frac{1}{2}=\sqrt{4}=2\)  ;         \(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\)     car \(2^3=8\)  ;

\(\) \(12{,}3^{\frac{1}{6}}\simeq 1{,}519\)  ;       `144^{\frac{1}{2}}=\sqrt{144}=12` .

Pour tout \(n>0\) , \(1^{\frac{1}{n}}=1\) .

Pour tout \(n>0\) , \(\sqrt[n]{0}=0\) .

Définition   Puissances rationnelles

Soit \(a\) un nombre réel positif. Si \(p\) et \(n\) sont deux entiers naturels non nuls, alors par définition :

                                                              \(a^{\frac{p}{n}}=(a^{\frac{1}{n}})^p\) .

Exemples

\(10^{\frac{4}{5}}=(10^{\frac{1}{5}})^4=10^{\frac{1}{5}}\times10^{\frac{1}{5}}\times10^{\frac{1}{5}}\times10^{\frac{1}{5}}\)

`8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^4=2^4=16`

Propriétés algébriques

Pour tout réel \(a>0\) et pour tout entier relatif `n` et  \(m\)   :

\({a^n\times a^m=a^{n+m}}\)  ;          \({(a^n)^m=(a^m)^n=a^{nm}}\)

\(\) \({a^n\times b^n=(ab)^{n}}\)  ;           \({\dfrac{a^n} {b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}}\)  ;           \({\dfrac{a^n} {a^m}=a^{n-m}}\) .

Exemples

\(a^\frac{1}{5}b^\frac{1}{5}=(ab)^\frac{1}{5}\) ce qui peut aussi s'écrire : \({\sqrt[5]{a}}{ \sqrt[5]{b}}= {\sqrt[5]{ab}}\) .

\((\sqrt[3]{5})^6=(5^{\frac{1}{3}})^6=5^{\frac{6}{3}}=5^2=25\)

\(243^{-\frac{4}{5}} =\dfrac{1}{{243}^{\frac{4}{5}}}= \dfrac{1}{(\sqrt[5]{243})^{{4}}}=\dfrac{1}{3^{4}}=\dfrac{1}{81}\)

Pour tout \(a≥0\)  et  `b>0` :  \(\dfrac{{a}^{\frac{1}{9}}}{{b}^{\frac{1}{9}}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\frac{1}{9}}\) ce qui s' écrit aussi \(\sqrt[9]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[9]{a}}{\sqrt[9]{b}}\) .

Pour tout  `a>0`  : \(\dfrac{a}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}\) .

En effet :  \(\dfrac{a}{\sqrt{a}}=\dfrac{a^1}{a^{\frac{1}{2}}}=a^{1-{\frac{1}{2}}}=a^{\frac{1}{2}}\) .

\(\sqrt[3]{\sqrt[7]{15}}=\sqrt[21]{15}\)  

Pour tout réel \(a\) positif : \(\sqrt{\sqrt{a}}=\sqrt[4]{a} .\)